参考 Reducible。
问题
如何求两个 \(n\) 次多项式 \(A(x)\) 和 \(B(x)\) 的乘积 \(C(x)\)？最简单的方式是使用乘法分配律对每个系数做乘积，时间复杂度为 \(O(n^{2})\)。
$$
A(x)=a_{0}+a_{1}x^{1}+\cdots+a_{n-1}x^{n} \\
B(x)=b_{0}+b_{1}x^{1}+\cdots+b_{n-1}x^{n} \\
C(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\cdots+c_{2n}x^{2n}
$$
另一种想法是：① 在多项式 \(A(x)\) 和 \(B(x)\) 上取 \(2n+1\) 个点 \(x_{i}\)，其中 \(i=0,1,\cdots,2n\)，求出对应的函数值。② 根据 \(C({x_{i}})=A(x_{i})\cdot B(x_{i})\)，可以得到 \(C(x)\) 上的 \(2n+1\) 个点。③ 使用拉格朗日插值，化简得到 \(C(x)\) 的表达式。总时间复杂度为 \(O(n^{2})\)，如果能够将 ① 和 ③ 的时间复杂度优化为 \(O(n\log{n})\)，那么就能够降低总时间复杂度。
优化步骤 ①
可以发现，对于偶函数 \(f(x)=f(-x)\)，对于奇函数 \(f(x)=-f(-x)\)。如果将多项式分解为偶函数和奇函数两部分，则可以可以利用对称性快速求点值。不妨设 \(n\) 为偶数，将 \(n-1\) 次多项式 \(P(x)\) 划分为偶函数和奇函数两部分。
$$
\begin{align}P(x)&=p_{0}+p_{1}x^{1}+\cdots+p_{n-1}x^{n-1} \\&=(p_{0}+p_{2}x^{2}+\cdots+p_{n-2}x^{n-2})+(p_{1}+p_{3}x^{3}+\cdots+p_{n-1}x^{n-1}) \\&=(p_{0}+p_{2}x^{2}+\cdots+p_{n-2}x^{n-2})+x(p_{1}+p_{3}x^{2}+\cdots+p_{n-1}x^{n-2})\end{align}
$$
设 \(P_{e}(x)=p_{0}+p_{2}x^{1}+\cdots+p_{n-2}x^{\frac{n}{2}-2}\)，\(P_{o}(x)=p_{1}+p_{3}x^{2}+\cdots+p_{n-1}x^{\frac{n}{2}-2}\)，则 \(P(x)=P_{e}(x^{2})+xP_{o}(x^{2})\)。此时，如果取 \(n\) 个点 \(\pm x_{0},\pm x_{1},\cdots,\pm x_{\frac{n}{2}-1}\)，则只需要计算 \(P_{e}(x_{i}^{2})\) 和 \(P_{o}(x_{i}^{2})\)，就能够通过以下方式得到两个函数值。
$$
P(x_{i})=P_{e}(x_{i}^{2})+x_{i}P_{o}(x_{i}^{2}) \\
P(-x_{i})=P_{e}(x_{i}^{2})-x_{i}P_{o}(x_{i}^{2})
$$
所以，要求 \(P(x)\) 上的 \(n\) 个点值，等价于求 \(P_{e}(x^{2})\) 和 \(P_{o}(x^{2})\) 上的 \(\frac{n}{2}\) 个点值，即点 \(x_{0},x_{1},\cdots,x_{\frac{n}{2}-1}\) 的值。此时，原问题被分解为两个相同的子问题，并且子问题的大小只有原问题的一半，如果子问题能够按照原问题的方式继续分解，则可以得到时间复杂度为 \(O(n\log{n})\) 的算法。
但是，\(P_{e}(x^{2})\) 和 \(P_{o}(x^{2})\) 不能继续分解，因为定义域 \(x^{2}\geq 0\)，点 \(x_{0}^{2},x_{1}^{2},\cdots,x_{\frac{n}{2}-1}^{2}\) 不构成正负对，也就不能利用对称性求点值。如果能够取到一组构成正负对的点，在子问题中所有正点依然构成正负对，那么就可以继续递推。此时，需要引入复数，例如，取点 \(\pm 1,\pm i\) 构成正负对，子问题中 \(1^{2},i^{2}\) 等价于 \(1,-1\) 依然构成正负对。
那么对于 \(n-1\) 次多项式，如何取满足条件的 \(n\) 个点？假设取某个点 \(z\)，那么必然要取 \(-z\)，在子问题中 \(z\) 变为 \(z^{2}\)，那么必然要取 \(-z^{2}\)，以此类推，假设 \(n\) 为 \(2\) 的幂（总是可以通过对高次项补系数 \(0\) 取到），则最终得到 \(z^{n}\)。也就是说，所有取值的 \(n\) 次方都相等，不妨设 \(z^{n}=1\)，求解方程可以得到 \(n\) 个单位根，即为满足条件的 \(n\) 个点。
设复数 \(z=a+bi\)，则极坐标表示为 \(z=r(cos(\varphi)+isin(\varphi))\)，根据欧拉公式，有 \(z=re^{\varphi i}\)。要求 \(z^{n}=1\)，即求 \(r^{n}e^{\varphi ni}=e^{2k\pi i}\)，得出 \(r=1,\varphi =\frac{2k\pi}{n}\)，所以 \(z=e^{\frac{2k\pi}{n}i}\)，其中 \(k=0,1,\cdots,n-1\)。设 \(w_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}i}\)，则 \(n\) 个单位根分别为 \(w_{n}^{0},w_{n}^{1},\cdots,w_{n}^{n-1}\)，它们将复平面中的单位圆 \(n\) 等分。
观察单位根的性质，有 \(w_{n}^{k}=-w_{n}^{k+\frac{n}{2}}\)，\(w_{n}^{k}=w_{\frac{n}{2}}^{\frac{k}2}\)，所以 \(w_{n}^{0},w_{n}^{1},\cdots,w_{n}^{\frac{n}{2}-1}\) 和 \(w_{n}^{\frac{n}{2}},w_{n}^{\frac{n}{2}+1},\cdots,w_{n}^{n-1}\) 构成正负对。在子问题中，\(w_{n}^{0},w_{n}^{1},\cdots,w_{n}^{\frac{n}{2}-1}\) 变为 \(w_{n}^{0},w_{n}^{2},\cdots,w_{n}^{n-2}\)，等价于 \(w_{\frac{n}{2}}^{0},w_{\frac{n}{2}}^{1},\cdots,w_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1}\)，前半和后半依然构成正负对，以此类推。从复平面的角度思考，更容易理解。
根据上述讨论，单位根的正负对性质，在所有子问题中都成立，所以求 \(n-1\) 次多项式 \(P(x)\) 的 \(n\) 个点值，可以使用递归分治的方式求解。当 \(n=1\) 时，多项式是常数，\(P(w_{1}^{0})\) 就是该常数值。当 \(n>1\) 时，如果已知 \(P_{e}(x^{2})\) 和 \(P_{o}(x^{2})\) 在 \(w_{n}^{k}\) 的点值，其中 \(k<\frac{n}{2}\)，则利用之前推出的 \(P(x)=P_{e}(x^{2})+xP_{o}(x^{2})\) 公式可以得到以下两个函数值。
$$
P(w_{n}^{k})
=P_{e}(w_{n}^{2k})+w_{n}^{k}P_{o}(w_{n}^{2k}) \\
P(-w_{n}^{k})
=P(w_{n}^{k+\frac{n}{2}})
=P_{e}(w_{n}^{2k+n})+w_{n}^{k+\frac{n}{2}}P_{o}(w_{n}^{2k+n})
=P_{e}(w_{n}^{2k})-w_{n}^{k}P_{o}(w_{n}^{2k})
$$
优化步骤 ③
步骤 ① 是已知系数，求 \(n-1\) 次多项式 \(P(x)\) 在 \(n\) 个 \(n\) 次单位根位置的值，可以看作矩阵相乘的形式。
$$
\left[\begin{matrix}P(w_{n}^{0}) \\P(w_{n}^{1}) \\P(w_{n}^{2}) \\\vdots \\P(w_{n}^{n-1})\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & \cdots & w_{n}^{0} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{1} & w_{n}^{2} & \cdots & w_{n}^{n-1} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{2} & w_{n}^{4} & \cdots & w_{n}^{2(n-1)} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{n}^{0} & w_{n}^{n-1} & w_{n}^{2(n-1)} & \cdots & w_{n}^{(n-1)(n-1)}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}p_{0} \\p_{1} \\p_{2} \\\vdots \\p_{n-1}\end{matrix}\right]
$$
步骤 ③ 是已知 \(n\) 个点值，求多项式的系数，可以看作上述变换的逆变换。
$$
\left[\begin{matrix}p_{0} \\p_{1} \\p_{2} \\\vdots \\p_{n-1}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & \cdots & w_{n}^{0} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{1} & w_{n}^{2} & \cdots & w_{n}^{n-1} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{2} & w_{n}^{4} & \cdots & w_{n}^{2(n-1)} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{n}^{0} & w_{n}^{n-1} & w_{n}^{2(n-1)} & \cdots & w_{n}^{(n-1)(n-1)}\end{matrix}\right]^{-1}\left[\begin{matrix}P(w_{n}^{0}) \\P(w_{n}^{1}) \\P(w_{n}^{2}) \\\vdots \\P(w_{n}^{n-1})\end{matrix}\right]
$$
$$
\left[\begin{matrix}w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & \cdots & w_{n}^{0} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{1} & w_{n}^{2} & \cdots & w_{n}^{n-1} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{2} & w_{n}^{4} & \cdots & w_{n}^{2(n-1)} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{n}^{0} & w_{n}^{n-1} & w_{n}^{2(n-1)} & \cdots & w_{n}^{(n-1)(n-1)}\end{matrix}\right]^{-1}=\frac{1}{n}\left[\begin{matrix}w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & w_{n}^{0} & \cdots & w_{n}^{0} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{-1} & w_{n}^{-2} & \cdots & w_{n}^{-(n-1)} \\w_{n}^{0} & w_{n}^{-2} & w_{n}^{-4} & \cdots & w_{n}^{-2(n-1)} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{n}^{0} & w_{n}^{-(n-1)} & w_{n}^{-2(n-1)} & \cdots & w_{n}^{-(n-1)(n-1)}\end{matrix}\right]
$$
如果将步骤 ① 表示为 \(FFT(w_{n},p_{0},p_{1},\cdots,p_{n-1})\)，则步骤 ③ 为 \(IFFT(w_{n},P(w_{n}^{0}),P(w_{n}^{1}),\cdots,P(w_{n}^{n-1}))=\frac{1}{n}FFT(w_{n}^{-1},P(w_{n}^{0}),P(w_{n}^{1}),\cdots,P(w_{n}^{n-1}))\)。